CHAPITRE 10: LOGIQUE ET MATHEMATIQUES

                                   INTRODUCTION

Logique et mathématiques sont des concepts qui s’accordent parfaitement bien que du temps d’Aristote elles eussent été des disciplines distinctes. Mais à rigoureusement parler la logique depuis Descartes constitue l’âme des mathématiques. Pour donc mieux cerner ce thème combien aujourd’hui important pour la science, il convient que nous nous arrêtions un temps soit peu à la logique classique ou aristotélicienne pour ensuite aborder la logique formelle ou mathématique.

                I / LOGIQUE CLASSIQUE

                              1/ Définition

La logique est, de façon générale, la discipline qui nous dit ce qui s’ensuit de quoi. Cela signifie qu’étant donné certaines propositions posées au départ, la logique nous dit qu’elles conséquences on peut en tirer, et quelles autres conséquences sont définitivement exclues.

A partir de là, nous voyons que la logique est une science formelle. Elle ne s’occupe pas du contenu de nos énoncés de leurs rapports à la réalité ; elle s’intéresse à la structure de nos raisonnements, à la légitimité de nos inférences. Une inférence légitime est celle qui tire une conclusion nécessaire de proposition posée comme hypothèse. Ici c’est le thème de la validité non de la vérité qui est en cours.

                             2/ Analyse de la proposition

En logique classique, la proposition est conçue comme l’acte par lequel on attribue une propriété à un objet. Par conséquent, toute proposition doit être exprimée dans une forme attributive ou prédicative avant de pouvoir être analysée logiquement. Cette forme attributive ou prédicative (on dit aussi copulative) A est B ou S- C- P (Sujet- Copule- Prédicat). Le terme-sujet désigne l’objet dont on parle ; le terme-prédicat désigne propriété que l’on reconnaît au sujet ; le terme-copule est l’expression de l’action d’attribution.

                           3/ LES TYPES DE RAISONNEMENTS

                                   a/ Le raisonnement par analogie

Le raisonnement par analogie conclut de ressemblances partielles visibles à d’autres ressemblances : j’ai lu un premier roman, excellent, d’un auteur, j’achèterai son deuxième roman en raisonnant par analogie.

Ce raisonnement est plutôt une simple association mentale. Le processus analogique peut inspirer la pensée qui cherche, et parfois qui trouve. Mais il ne peut fonder la pensée qui prouve, il n’est pas démonstratif.

                                   b/ L’induction

L’induction ressemble au raisonnement analogique. Mais elle parait plus valable car au lieu d’extrapoler une observation unique, c’est à partir de l’observation d’un grand nombre de faits qu’elle affirme une loi générale. Ainsi, dit la Logique de Port-Royal, “ lorsqu’on a éprouvé sur beaucoup de mers que l’eau est salée et sur beaucoup de rivières que l’eau est douce, on conclut par induction que l’eau de mer est salée et l’eau de rivière est douce”. L’induction est dite amplifiante, car elle consiste à affirmer au-delà de ce qui est constaté, à dire plus que nous avons vu.

                             c/ La déduction ou le raisonnement syllogistique

La déduction est a priori, c’est à dire qu’elle est indépendante de l’expérience ; je prends certaines propositions pour prémisses et j’en tire par la seule vertu du raisonnement des conclusions. Ces conclusions sont rigoureusement nécessaires ; autrement dit, une fois que j’ai adopté les prémisses, la conclusion logique ne peut être refusée. Elle ne peut pas n’est pas être.

Le syllogisme est un raisonnement dans lequel il y a trois propositions : les deux premières sont appelées prémisses, la troisième est appelée conclusion. Il est entendu qu’on ne peut pas passer de la première prémisse à la conclusion sans passé par l’intermédiation de la deuxième prémisse. Dans le syllogisme aristotélicien c’est Socrate et mortel qui sont comparés par l’intermédiaire d’homme.     

                    II/ LA PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES

                            1/ Définition

La science mathématique comprend des branches multiples et recouvre des domaines bien divers. Il n’y a pas une, mais des mathématiques : on dit quelquefois que la mathématique est la science des quantités et de la mesure, c’est-a-dire des rapports entre les quantités, mais il est plusieurs sortes de quantités : à première vue on peut distinguer la quantité discontinue (discrète) ou nombre, objet de l’arithmétique. L’algèbre est une arithmétique généralisée qui ne considère dans les nombres que leurs relations et fait abstraction de leur valeur chiffrée. La quantité continue ou grandeur (divisible à l’infini) est l’objet de la géométrie. Mais on peut exprimer les formes géométriques par le langage de l’algèbre (courbes traduites en équations). Pouvons-nous dire avec Descartes que la mathématique est “la science de l’ordre et de la mesure

                       2/ Origines des mathématiques

                             a / La théorie empirique

Les mathématiques viennent-elles de l’expérience concrète ? Pour les empiristes les notions mathématiques sont directement tirées de l’expérience sensible et les mathématiques sont une science d’observations.

                              b /La théorie idéaliste

Selon les idéalistes, le mathématicien est un homme qui a quitté le monde des apparences sensibles et vit dans un monde des idées. Le chiffre cinq de cinq oiseaux n’est jamais perceptible. Le nombre de quelque chose n’est pas une chose, c’est une idée.

                             c/ La théorie ‘’opératoire’’

L’histoire des mathématiques nous révèle clairement que les êtres mathématiques ne sont ni des choses perçues ni des idées contemplées, mais seulement les outils de techniques opératoires d’abord concrètes, puis de plus en plus abstraites.

                            3/ Les règles mathématiques

 Le représentant contemporain reste Bertrand Russel. On lira avec intérêt l’ouvrage de M. Blanché intitulé : Introduction à la logique contemporaine. Il y a été mis au point les règles suivantes :

                         a / Règle de la conjonction: (∩ = et)

 (A∩B) est Vrai, si et seulement si A est vrai et B est vrai et  (A∩B) est Faux, si A et /ou B est faux

                         b / Règle de la disjonction : (ᴜ = ou)                                        

 (AᴜB) est Vrai, si A ou B est vrai et  (AᴜB) est Faux, si A et B sont faux

                       c/ Règle de la négation  : (┐= non)                     

 (┐)A est Vrai; si A est faux  et (┐A) est Faux; si A est vrai                         

                 d/ Règle de l’implication  (ↄ = implique ou si … alors)                                                                           

(A ↄ B) est  Vrai, si A et B sont vrais  et (A ↄ B) est Faux, si A est faux et B est vrai et  si A est vrai et  B est faux                                 

                 e/ Règle de l’équivalence  (≈  = équivaut) ;(A≈B)

   

                                                                                                                                                                                                                                       

                 4/ Les principes des  mathématiques

                    a/ Les définitions mathématiques

  La définition mathématique est un modèle. La définition mathématique n’est pas descriptive, elle est créatrice. Le rapport d’un mathématicien aux êtres mathématiques est celui d’un dieu à ses créatures. La définition mathématique est une règle opératoire.

                     b/ Les postulats

Ce sont des propositions indémontrables que le mathématicien “demande” (postulare) à son auditeur d’accorder. L’étymologie du mot est ici bien révélatrice. Le mathématicien semble faire appel à la bonne volonté de l’auditeur.

                  c/ Les axiomes

Les axiomes seraient des exigences purement logiques, simposant dans tous les domaines de la mathématique,  s’imposant même à tout esprit en n’importe quelle opération mentale: ils seraient absolument évidents.

L’axiome serait lui-même une règle opératoire qui délimite un certain champ dopérations possibles. On peut donc dire que les axiomes sont des conventions.

                III/ VALEURS DE LA LOGIQUE ET DES  MATHEMATIQUES

                  1 / Logique et société

Goblot pense que le fonctionnement de l’intelligence se distingue par lui-même, sur le plan des faits et sans qu’il soit nécessaire d’introduire une métaphysique normative, des autres fonctionnements psychologiques.  L’avènement de la  pensée logique est lié à l’existence de la société: démonstration, réfutation, discussion, objection, tous ces processus de la pensée à la recherche du vrai on une origine sociale. Les contacts entre des groupes sociaux qui diffèrent par les croyances et les coutumes éveillent l’esprit critique des membres de ces groupes, les poussent à confronter leur opinions, à essayer de se convaincre mutuellement, à élaborer des règles de pensée vraie. La vie sociale et les conflits, qu’elle engendre, imposent aux hommes la recherche de vérités universelles.

               2/ Rôle des Mathématiques dans la connaissance de l’univers

Les mathématique n’échappent pas à ce qui marque l’origine des sciences. En effet le tracé des champs peut avoir engendré la géométrie et le négoce (commerce) produit le calcul. Pour mieux s’imposer dans la pensée scientifique, les mathématiques recherchent une méthode rigoureuse qui fait qu’elles traduisent essentiellement la nature des objets.

Les mathématiques offrent également aux autres sciences une méthode logique et rigoureuse dans l’étude de leur objet. En définitive, elle représente l’exactitude recherchée conformément au langage même de l’univers ainsi que Galilée l’a fortement affirmé : « l’univers est écrit en langage mathématique »

                          CONCLUSION

Logique et mathématique sont des concepts qui représentent les deux pieds de la science aujourd’hui. En dehors de ce cadre on ne peut conduire, aucun raisonnement valide. Mais les sciences ne font-elles pas fausses pistes ? Quand elles estiment que les sciences humaines ne sont pas des sciences ? N’est-il pas judicieux de retenir que tous dans le monde et en l’être humain ne se réduit pas à la logique et aux mathématiques ?

 

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