LES NOMBRES COMPLEXES

I.FORME ALGÉBRIQUE

1)   NOTION DE NOMBRE COMPLEXE     

      Définition

 On appelle nombre complexe tout nombre de la forme a + bi, tel que a et b sont des nombres réels et i² = – 1.

L’ensemble des nombres complexes est noté  ℂ.

Notation et vocabulaire 

 Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi avec a et b des réels.

– L’écriture a + bi est appelée forme algébrique de z ; a est appelé partie réelle de z notée Re(z) ; b est appelé partie imaginaire de z notée Im(z).

-Si b = 0, alors z = a : z est donc un nombre réel. On en déduit que tout nombre réel est un nombre complexe (ℝ⊂ℂ).

-Si a = 0 et b ≠ 0, alors z = bi : le nombre z est dit imaginaire pur.

Propriétés 

Soit z et z’ deux nombres complexes, on a :

· z = z’ si et seulement si Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)

·z = 0 si et seulement si Re(z) = 0 et Im(z) = 0

·0 est appelé nombre complexe nul.

Exercice

Soit z = 1 – 6i. Déterminer les réels x et y pour que le nombre complexe z’ tel que

z’ = x + y + xyi soit égal à z.

2)   OPERATIONS DANS ℂ

a-  Addition et multiplication

Soit z = a + bi et z’ = a’ + b’i deux nombres complexes. On a:

z + z’ = (a + a’ ) + (b + b’ )i et zz’ = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i

Les propriétés de ces opérations dans ℂ sont les mêmes que dans ℝ.

b-  Identités remarquables

Pour tous nombres complexes z et z’ :

(z + z’ )2 = z2 + 2zz’ + z’2   ;  (z – z’ )2 = z2 – 2zz’ + z’2   ; (z + z’ )(z – z’ ) = z2 – z’2   .

      Remarque :

 (a + bi )(a – bi ) = a2 + b2.

On peut donc factoriser dans ℂ des expressions non factorisables dans ℝ.